Помогите решить пожалуйста дифференциальное уравнение методом Лагранжа xy'+y=x^2

Ответ. x*y'+y-x^2=0;

x y' + y = x^2
Отвлечемся от него и развлечения ради рассмотрим уравнение:
x z' + z = 0
Заменяем производную отношением дифференциалов:
x dz/dx + z = 0
Разделяем переменные:
dz/z = - dx/x
Интегрируем слева по z, справа по x:
ln|z| = A - ln|x|
(A - константа интегрирования)
ln|z| = ln(B / |x|)
A заменили на B, т. к. любая функция от произвольной константы - тоже произвольная константа.
|z| = B / |x|
Т. к. произвольная константа B сама может содержать знак, модули можем отбросить:
z = B / x
А теперь вернемся к исходному уравнению. Будем искать его решение в виде:
y = F / x
где F - это теперь функция от x. Подставляем y в таком виде в уравнение:
x (F/x)' + (F/x) = x^2
Раскрываем производную:
x (F' / x - F / x^2) + F / x = x^2
Раскрываем скобки, сокращаем, что сокращается:
F' = x^2
Или:
dF/dx = x^2
Разделяем переменные:
dF = x^2 dx
Интегрируем:
F = (1/3) x^3 + C
Подставляем это в выражение для y:
y(x) = [(1/3) x^3 + C] / x
Или (так красивше):
y(x) = (1/3) x^2 + C / x