Решить заданное дифференциальное уравнение аналитическим методом y'=3xy+y^2. y(0)=0,4

Для решения данного дифференциального уравнения методом разделения переменных, следуйте этим шагам:

Шаг 1: Запишите уравнение в стандартной форме, разделив переменные:

dy/dx = 3xy + y^2

dy / (3xy + y^2) = dx

Шаг 2: Проинтегрируйте обе части уравнения:

∫dy / (3xy + y^2) = ∫dx

Шаг 3: Выполните интегрирование слева относительно y. Для этого воспользуйтесь заменой переменной, например, u = 3xy + y^2:

∫dy / (3xy + y^2) = ∫du / u

Шаг 4: Проинтегрируйте обе части уравнения:

ln |3xy + y^2| = ln |u| + C1

где С1 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 5: Решите уравнение относительно y. Для этого примените экспоненту к обеим частям уравнения:

|3xy + y^2| = e^(ln |u| + C1)

|3xy + y^2| = e^(ln |u|) * e^(C1)

|3xy + y^2| = C * |u|

где C = e^(C1) - новая произвольная постоянная.

Шаг 6: Разберемся со знаками модулей. Для этого рассмотрим два случая:

6.1: 3xy + y^2 > 0

Тогда: 3xy + y^2 = C * (3xy + y^2)

6.2: 3xy + y^2 < 0

Тогда: -(3xy + y^2) = C * (3xy + y^2)

Шаг 7: Решим уравнение для каждого случая.

6.1: 3xy + y^2 = C * (3xy + y^2)

y(0) = 0.4

Тогда при x = 0 получим: 0 + (0.4)^2 = C * (0 + (0.4)^2)

C = 1

Таким образом, решение в этом случае будет: 3xy + y^2 = 3xy + y^2

Шаг 8: Проверим второй случай.

6.2: -(3xy + y^2) = C * (3xy + y^2)

y(0) = 0.4

Тогда при x = 0 получим: -(0 + (0.4)^2) = C * (0 + (0.4)^2)

C = -1

Таким образом, решение в этом случае будет: -(3xy + y^2) = - (3xy + y^2)

Итак, общее решение дифференциального уравнения будет иметь две ветви решения:

3xy + y^2 = 3xy + y^2 (для случая, когда 3xy + y^2 > 0)

-(3xy + y^2) = -(3xy + y^2) (для случая, когда 3xy + y^2 < 0)

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения аналитическим методом будет представляться двумя ветвями решения в зависимости от знака 3xy + y^2 и значения произвольной постоянной C, которая определяется из начального условия y(0) = 0.4.

Это неоднородное уравнение первого порядка. Решим его с помощью метода вариации постоянной.

Предположим, что решение имеет вид y(x) = c(x)e^{3/2 x^2}. Тогда y'(x) = c'(x)e^{3/2 x^2} + 3x c(x) e^{3/2 x^2} и подставляем эти выражения в уравнение:

c'(x)e^{3/2 x^2} + 3x c(x) e^{3/2 x^2} + c^2(x) e^{3/2 x^2} = 3x c(x) e^{3/2 x^2} + c^2(x) e^{3/2 x^2}

Упрощаем и получаем уравнение для функции c(x):

c'(x) = c^2(x)

Решаем его методом разделения переменных:

∫ {1/c^2(x)} dx = ∫ dx

-1/c(x) = x + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем значение постоянной интегрирования C, используя начальное условие y(0)=0,4:

-1/c(0,4) = 0 + C

C = -1/c(0,4)

Итак, выражение для функции c(x) имеет вид:

c(x) = -1/(x+C)

Тогда решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = -1/(x+C) e^{3/2 x^2}

Подставляем начальное условие и находим значение константы C:

y(0) = -1/C = 0,4

C = -2,5

Итак, решением заданного дифференциального уравнения является функция:

y(x) = -1/(x-2,5) e^{3/2 x^2}