Найти общее решение дифференциального уравнения (x^2-y^2)y'=2xy

Однородное уравнение, можно решить подстановкой

 u = y / x

y = u x

dy = u dx + x du



(x² - y²)dy/dx = x²(1 - u²)(u + x du/dx)

2xy = 2x²u 

Приравниваем:

 (1 - u²)(u + x du/dx) = 2u

u + x du/dx = 2u / (1 - u²)

x du/dx = 2u / (1 - u²) - u = u(1 + u²) / (1 - u²)

dx/x = du (1 - u²) / (u(1 + u²))



ln x + ln C = ln (u / (u² + 1))

Cx = u / (u² + 1) 

Обратная замена:

 u = y / x

Cx = yx / (x² + y²)

C(x³ + xy²) = yx

y = 0 входит в решение только при C = 0 (т.к. на него выше делили) 

-----------------------
Дополнение по вопросу, а почему интеграл

 du (1 - u²) / (u(1 + u²)) 

равен

 ln (u / (u² + 1)) 

Разделим на два слагаемых:

 du / (u(1 + u²))

-udu / (1 + u²) 

Интеграл первого равен

 ln u - ln(1 + u²)/2 + ln C₁

(подстановка v = u² + 1) 

Интеграл второго равен

 -ln(1 + u²)/2 + ln C₂

(подстановка u du = d(u²)/2) 

Складываем, получаем результат.