Найти общее решение дифференциальных уравнений

1) x^2 y' = 4 x^2 - 3 x y + y^2
Однородное, поэтому заменка: y(x) = x z(x)
x^2 [x z]' = 4 x^2 - 3 x [x z] + [x z]^2
x^2 (z + x z') = 4 x^2 - 3 x^2 z + x^2 z^2
z + x z' = 4 - 3 z + z^2
x z' = z^2 - 4 z + 4
x (dz/dx) = (z - 2)^2
dz / (z - 2)^2 = dx / x
- 1 / (z - 2) = A + ln(x)
1 / (z - 2) = ln(B) - ln(x)
z - 2 = 1 / ln(B / x)
z = [2 ln(B / x) + 1] / ln(B / x)
Возвращаемся к y:
y = x z
y = x [2 ln(B / x) + 1] / ln(B / x)
2) y' + 2 x y = 4 x^3 y^3 exp(2 x^2)
Метод Бернулли. Делаем замену: y(x) = u(x) z(x)
(переходим к уравнению для z, а функцию u выберем попозже, как будет удобнее)
(u z)' + 2 x u z = 4 x^3 u^3 z^3 exp(2 x^2)
u' z + u z' + 2 x u z = 4 x^3 u^3 z^3 exp(2 x^2)
[u' + 2 x u] z + u z' = 4 x^3 u^3 z^3 exp(2 x^2)
Выберем такое u, чтобы:
u' + 2 x u = 0
тогда:
du / u = - 2 x dx
ln(u) = A - x^2
u = B exp(- x^2)
(нам нужно не общее решения u(x), а любая функция, для которой выполнится требуемое условие, поэтому просто возьмем B = 1)
u = exp(- x^2)
Тогда уравнение для z примет вид:
0 + exp(- x^2) z' = 4 x^3 exp(- 3 x^2) exp(2 x^2)
z' = 4 x^3
dz = 4 x^3 dx
z = C + x^4
Возвращаемся к y:
y = (C + x^4) exp(- x^2)