Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Делаем замену y' = z(x), тогда y'' = z',
z' + ( (2x*z)/(x^2 + 1) ) = 2x, [*]
найдем подходящий множитель D.
D' = D*2x/(x^2+1),
dD/dx = D*2x/(x^2 + 1),
dD/D = 2x*dx/(x^2+1),
d(ln|D|) = d(x^2+1)/(x^2+1), = d(ln|x^2+1|),
ln|D| - ln| x^2 + 1 | = C,
ln| D/(x^2+1) | = C,
| D/(x^2+1) | = e^C,
D/(x^2+1) = C1,
D = C1*(x^2+1), пусть C1=1.
D = x^2+1,
домножим [*] на множитель D.
(x^2+1)*z' + 2xz = 2x*(x^2+1),
левая часть последнего тождественно = ( (x^2+1)*z )' = 2x*(x^2 + 1),
(x^2 + 1)*z = S 2x*(x^2+1) dx = 2*S( x^3 + x) dx = 2*( (x^4/4) + (x^2/2) ) + C = (x^4/2) + x^2 + C,
y'= z = ( (x^4/2) + x^2 + C )/(x^2+1).
y'(0) = C = 4.
y' = ( (x^4/2) + x^2 + 4 )/(x^2+1).
y = S ( (x^4/2) + x^2 + 4 )/(x^2+1) dx
теперь нужно взять последний интеграл, а после найти значение второй константы (из условия y(0)= -1).
доделай сам, а я устал.

Уважаю Ваши труды, Головоломыч. Но... первая часть с D готова загнать в депрессию кого угодно.

Домножаем на (x^2+1). Так можно, т. к. x^2+1 стоит в знаменателе и не равно нулю:

y''(x^2+1) + y'*2x = 2x^3+2x.

Слева от знака равенства - производная от y' * (x^2+1), поэтому

( y'*(x^2+1) )' = 2x^3+2x.

Интегрируем разок:

y'*(x^2+1) = 1/2*x^4 + x^2 + С.

Отсюда y' = (1/2*x^4 + x^2 + С) /(x^2+1). (***)

В числителе (1/2*x^4 + 1/2*x^2) + (1/2*x^2 + 1/2) - 1/2 + С, поэтому, сокращая на знаменатель, легко интегрируем:

y = int( x^2/2 + 1/2 + (C-1/2)/(1+x^2) ) = x^3/6 + x/2 + (C-1/2)*arctg x + C1.

Н. у.:

y(0) = -1 = C1.
y'(0) = 4 = (см. *** выше, даже дифференцировать не надо) = С.

Отсюда ч. р. будет таким:

y = x^3/6 + x/2 + 7/2*arctg x - 1.

Вольфрамыч дает точно такой же ответ:

Ты че дятел решил мою контрольную здесь решать. По одной задаче будешь выкладывать. Ты ее еще два месяца назад должен был решить. Деньги тебе уплочены, а контрольной нет. Отдавай мои деньги мошенник.