Найти приближенно частное решение дифференциального уравнения

Решение представляем в виде:
y = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + o(x^4)
Все остальные куски уравнения представим в виде разложения по степеням x:
y' = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + 4 a4 x^3 + o(x^3)
cos(x) = 1 - (1 / 2) x^2 + o(x^3)
y^2 = a0 + 2 a0 a1 x + (2 a0 a2 + a1^2) x^2 + 2 a1 a2 x^3 + o(x^3)
Подставляем это все в уравнение, переносим все слагаемые в одну сторону равенства и группируем слагаемые:
(a1 - a0^2 - 1) + 2 (a2 - a0 a1) x + (3 a3 - 2 a0 a2 - a1^2 + (1 / 2)) x^2 +
+ 2 (2 a4 - a1 a2) x^3 + o(x^3) = 0
Это равенство должно выполняться при любых x, поэтому нулю должна быть равна не просто сумма, а каждое слагаемое в отдельности. Тогда:
a1 - a0^2 = 1
a2 - a0 a1 = 0
3 a3 - 2 a0 a2 - a1^2 = - 1 / 2
2 a4 - a1 a2 = 0
Дописываем к этим равенствам еще одно:
a0 = 1
полученное из условия y(0) = 1. Набор этих равенств можно рассмотреть как систему уравнений относительно коэффициентов разложения a0, a1, a2, a3,a4. Тогда получим:
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2
a3 = 5 / 2
a4 = 2
И можем записать разложение y по степеням x:
y = 1 + 2 x + 2 x^2 + (5 / 2) x^3 + 2 x^4 + o(x^5)
Если отбросить все ненайденные члены разложения o(x^5), получим приближенное решение, "работающее" при малых x. На картиночке:
синее - точное решение (все члены разложения),
красное - наше приближенное решение (пять первых членов разложения).