Решение дифференциального уравнения.

Ответ. (y-x)dx+(y+x)dy=0.;

Что-то не похоже это на диф. ур...

Если у вас есть функция двух переменных: U=U(x,y), то полный дифференциал такой функции: dU = Ux dx + Uy dy.
У вас уравнение вида: P dx + Q dy = 0. Левая часть похожа на полный дифференциал некоторой функции. Предположим, что это так. То есть, что слева у нас полный дифференциал некоторой функции U, тогда уравнение выглядит на самом деле так: dU = 0.
И его решение (полный интеграл): U = Const.
И решение уравнение сводится к поиску функции U, для которой:
Ux = P
Uy = Q
Порядок взятия производных не должен влиять на результат, поэтому Uxy = Uyx.
Uxy = Py
Uyx = Qx
То есть должно выполняться условие: Py = Qx.
Проверьте, оно в данном уравнении выполняется. Тогда записываем уравнения для искомой функции:
Ux = y-x
Uy = y+x
Берем и интегрируем первое уравнение по x:
U = yx - x^2 / 2 + f(y)
f(y) играет роль константы интегрирования при интегрировании по x.
Берем производную по y:
Uy = x + f '(y)
Сравниваем со вторым уравнением для U, видим, что: f '(y) = y
Тогда f(y) = y^2 / 2 + C.
И тогда искомая функция:
U(x,y) = - x^2 / 2 + y x + y^2 / 2 + C
И полный интеграл уравнения:
-x^2 + 2 x y + y^2 = Const