Решение дифференциальных уравнений

1)
sqrt(x) = sqrt(y) dy / dx
Разделяем переменные:
sqrt(x) dx = sqrt(y) dy
интегрируем:
(2/3) sqrt(x)^3 = (2/3) sqrt(y)^3 + C
Выражаем y:
y = [C + sqrt(x)^(2/3)]^(3/2)
2)
x dy = y dx, y(2) = 6
Переменные разделяются:
dy / y = dx / x
Интегрируем:
ln(y) = ln(x) + C
выражаем y:
y = C x
Подставляем доп. условие:
y(2) = 2 C = 6
C = 3
Тогда решение:
y = 3 x
3)
y' + y = x y^3
Ищем решение в виде:
y = u z
Подставляем в уравнение:
(u z)' + u z = x (u z)^3
u' z + u z' + u z = x u^3 z^3
(u' + u) z + u z' = x u^3 z^3
Потребуем, чтобы:
u' + u = 0
Найдем такое u. Разделяем переменные:
du / u = - dx
Интегрируем:
ln(u) = C - x
Выражаем u:
u = C exp(- x)
Возьмем C = 1
Тогда уравнение для z примет вид:
exp(- x) z' = x exp(- 3 x) z ^3
Разделяем переменные:
dz / z^2 = x exp(- 2 x) dx
Интегрируем:
- 1 / z = C - (1/4) exp(- 2 x) [2 x + 1]
Выражаем z:
z = 4 / {C + [2 x + 1] exp(- 2 x)}
Возвращаемся к y:
y = 4 exp(- x) / {C + [2 x + 1] exp(- 2 x)}
4)
А тут вы, похоже, с дифференциалами напутали)