Нужна помощь в решение дифференциальное уравнение

Y = Yодн + Yчаст
Y - общее решение
Yодн - общее решение однородного уравнения
Yчаст - любое частное решение исходного уравнеия
-
1) Найдем Yчаст. Нам нужно ЛЮБОЕ частное решение, его можно подобрать, угадать и т. д. Будем искать его в виде:
Yчаст = a x^2 + b x + A cos(3x) + B sin(3x)
Подставим в уравнение:
[a x^2 + b x + A cos(3x) + B sin(3x)]'' - 2 [a x^2 + b x + A cos(3x) + B sin(3x)]' = 2 x + cos(3x)
Раскрываем все производные:
2 a - 9 A cos(3x) - 9 B sin(3x) - 4 a x - 2 b + 6 A sin(3x) - 6 B cos(3x) = 2 x + cos(3x)
Группируем:
2 [a - b] - 2 [2 a + 1] x + 3 [2 A - 3 B] sin(3x) - [9 A + 6 B + 1] cos(3x) = 0
Чтобы равенство нулю выполнялось, потребуем:
a - b = 0
2 a + 1 = 0
2 A - 3 B = 0
9 A + 6 B + 1 = 0
Тогда:
a = - 1/2
b = - 1/2
A = - 1/13
B = - 2/39
И частное решение:
Yчаст = - (1/13) cos(3x) - (2/39) sin(3x) - (1 + x) x / 2
-
2) Найдем решение однородного уравнения:
y'' - 2 y'= 0
Ищем решение в виде:
y = exp(kx), подставляем в уравнение:
exp(kx)'' - 2 exp(kx)' = 0
раскрываем производные:
k^2 exp(kx) - 2 k exp(kx) = 0
выносим, что выносится, за скобки:
(k - 2) k exp(kx) = 0
получаем:
k = 0, k = 2.
Тогда имеем два независимых решения:
Y1 = 1, Y2 = exp(2x)
Общее решение однородного уравнения:
Yодн = C1 Y1 + C2 Y2 = C1 + C2 exp(2x)
-
Общее решение исходного уравнения:
Y = C1 + C2 exp(2x) - (1/13) cos(3x) - (2/39) sin(3x) - (1 + x) x / 2

Ответ. y"-2*y'-2*x-cos(3*x)=0;