Решение дифференциальных уравнений

1) Решения однородного уравнения:
x'' - 26 x' + 169 x = 0
ищем в виде:
x = exp(k t)
подставляем в уравнение:
k^2 exp(k t) - 26 k exp(k t) + 169 exp(k t) = 0
избавляемся от экспонент:
k^2 - 26 k + 169 = 0
Решаем квадратное уравнение, находим k:
k = 13
Получаем одно решение уравнения:
x1 = exp(13 t)
Нужно еще одно. Ищем его в виде:
x = y(t) x1(t)
Подаставляем x в уравнение, сразу причесываем:
x1 y'' + 2 (x1' - 13 x1) y' + (x1'' - 26 x1' + 169 x1) y = 0
Последнее слагаемое равно 0, т. к. x1 - решение:
x1 y'' + 2 (x1' - 13 x1) y' = 0
Подставляем сюдаx1, получаем:
exp(13 t) y'' = 0
или:
y'' = 0
Находим y:
y = c1 + c2 t
Получаем общее решение однородного уравнения:
x = c1 exp(13 t) + c2 t exp(13 t)
Частное решение неоднородного уравнения можно просто искать в виде константы, получим:
x = 10 / 169
И обшее решение исходного уравнения:
x = (10 / 169) + c1 exp(13 t) + c2 t exp(13 t)
2) Тут решение однородного ищется таким же образом, получается сразу два решения:
x1 = exp(9 t)
x2 = exp(20 t)
общее решение однородного уравнения тогда:
x = c1 exp(9 t) + c2 exp(20 t)
Частное решкние неоднородного уравнения ищем в виде:
x = a t + b
Подставляем в уравнение:
0 - 29 a + 180 a t + 180 b = 10 t
Получаем соотношения для a, b:
- 29 a + b = 0
180 a = 10
отсюда находим:
a = 1 / 18
b = 29 / 18
Тогда частное решение неоднородного уравнения:
x = (1 / 18) t + (29 / 18)
и общее решение исходного уравнения:
x = (1 / 18) t + (29 / 18) + c1 exp(9 t) + c2 exp(20 t)