Найти частные решения дифференциальных уравнений. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

1) y' + 5y - 4 = 0 - линейное ДУ с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное y' + 5y = 0.
Характеристическое уравнение k + 5 = 0 => k = -5 =>
=> yоо = Ce^(-5x) - общее решение однородного.

Частное решение неоднородного y' + 5y - 4 = 0 ищем в виде:
yчн = A => 5A - 4 = 0 => A = 4/5.

Таким образом,
yон = yоо + yчн = C*e^(-5x) +(4/5) - общее решение исходного неоднородного,
где C - константа.
y(0) = 1 => 1 = C + (4/5) => C = 1/5.
=> (1/5)*e^(-5x)+(4/5) - частное решение.

2) y' + x*y + x = 0 - линейное ДУ с переменными коэффициентами. Решаем методом Бернулли.
y = u*v =>
=> u'*v + u*v' + x*u*v + x = 0 =>
=> u*(v' + x*v) + u'*v + x = 0
Функцию v выбираем из:
v' + x*v = 0 => dv/v = -xdx => v = e^(-x^2/2)
На функцию u остается ДУ:
u'*e^(-x^2/2) = -x => u' = -x*e^(x^2/2)
du = -e^(x^2/2)d(x^2/2) =>
=> u = -e^(x^2/2) + C =>
=> y = u*v = ( -e^(x^2/2) + C )*e^(-x^2/2) = C*e^(-x^2/2) - 1 - общее решение,
где C - константа.