y"-y=(14-16x)e^-x, y(0)=0,y'(0)=-1 - линейное ДУ 2-ого порядка с постоянным коэффициентом

А у вас нет ни методичек, ни учебников, ни лекций?...
Просто тут есть несколько алгоритмов решения, там даже понимать не обязательно, просто проделать руками и все. Один из:
1) Общее решение уравнения складывается и ЛЮБОГО частного решения (которое можно найти, подобрать, угадать...), и общего решения однородного уравнения (это следует из линейности):
Yобщ = Yчастн + Yодн
2) Однородное уравнение:
y'' - y = 0
Ищите решение в виде:
y = exp(k x)
Подставьте в уравнение, найдите k (два значения).
Получите два независимых решения однородного уравнения:
y1 = exp(k1 x)
y2 = exp(k2 x)
Тогда общее решение однородного уравнения:
Yодн = C1 y1 + C2 y2
(C1, C2 - константы интегрирования)
3) Нужно найти любое частное решение. Из того, как выглядит правая часть уравнения, понимаем, что искать частное решение можно в виде:
Yчастн = x (a + b x) exp(-x)
Подставляйте это в исходное уравнение, и найдите такие a и b, чтобы равенство выполнилось.
4) Смотрите в пункт (1), запишите общее решение. В нем у вас будут две константы C1, C2. Для их нахождения потребуется два уравнения.
Подставляете в ваше общее решение x = 0, приравниваете результат 0 - это первое уравнение.
Берете производную от вашего общего решения, подставляете x = 0, приравниваете -1 - это будет ваше второе уравнение.
Решаете это как систему относительно C1, C2, получаете решение вашей задачи Коши.