1 Решить дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Срочно пожалуйста .Весьма благодарна.

JND.

решение

1) Чтобы решить это уравнение, мы сначала находим характеристическое уравнение, предполагая, что решение имеет вид y = e^(rt). Подстановка этой формы в уравнение дает нам:

г ^ 2е ^ (рт) - 5ре ^ (рт) + 6е ^ (рт) = 0

Разделив все на e^(rt), мы получим:

р ^ 2 - 5р + 6 = 0

Факторы этого квадратного уравнения: (r-2)(r-3) = 0, поэтому r = 2 или r = 3. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения:

у = c1e^(2t) + c2e^(3t)

где c1 и c2 — константы, определяемые начальными условиями.

2) Снова начнем с принятия решения в виде y = e^(rt):

25r^2e^(rt) - 20re^(rt) + 4e^(rt) = 0

Разделив все на e^(rt) и упростив:

25р^2 - 20р + 4 = 0

Факторы этого квадратного уравнения: 5(5r-2)(r-2) = 0, поэтому r = 2/5 или r = 2. Следовательно, общее решение:

у = c1e^(2t/5) + c2e^(2t)

3) Снова предполагая решение вида y = e^(rt):

г ^ 2е ^ (рт) - 6ре ^ (рт) + 10е ^ (рт) = 0

Разделив все на e^(rt) и упростив:

р ^ 2 - 6р + 10 = 0

Это квадратное уравнение имеет комплексные корни, которые мы можем найти, используя квадратную формулу:

r = (6 ± sqrt (6 ^ 2 - 4 * 1 * 10)) / 2 = 3 ± i

Поэтому общее решение:

у = е^(3t)(c1cos(t) + c2sin(t))

где c1 и c2 — константы, определяемые начальными условиями.