Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Если X - численность популяции, то:
dX/dt - скорость роста численности с течением времени (с размерностью, например: бактерий/день)
Первое слагаемое справа говорит: "скорость роста численности тем выше, чем больше численность ". Логично сказать, что это слагаемое отвечает за размножение популяции. Коэффициент 2 перед X означает, что скорость роста численности такова, что, если бы эта скорость роста была постоянной (кто-то не давал бы новым особям участвовать в размножении, а запирал бы их в другом месте и подсчитывал), то за единицу времени (что там взято за размерность времени) популяция численностью X произвела бы на свет еще 2 X особей.
Второе слагаемое дает еще прибавку к скорости роста популяции, независящую от того, сколько там сейчас особей. И величина этой прибавки у вас экспоненциально растет. Будто в эту систему отводятся особи, лишние в другой системе :- D
А насчет решения... Ну раз у вас там экспонента, и уравнение линейное, то решение стоит искать в виде:
z = A exp(3 t)
Подставляем это вместо X в уравнение:
(d/dt) A exp(3 t) = 2 A exp(3 t) + exp(3 t)
3 A exp(3 t) = 2 A exp(3 t) + exp(3 t)
(A - 1) exp(3 t) = 0
exp(3 t) не равно нулю, поэтому:
A = 1
Нашли некоторое частное решение уравнения:
z(t) = exp(3 t)
Общее решение будем искать в виде:
X(t) = X0(t) + z(t)
Подставляем в исходное уравнение:
(d/dt) (X0 + z) = 2 X0 + 2 z + exp(3 t)
Перегруппируем:
{(d/dt)X0 - 2 X0} + {(d/dt)z - 2 z - exp(3 t)} = 0
Т. к. z(t) - решение исходного уравнения, то выражение во вторых фигурных скобках занулятся, останется:
(d/dt)X0 - 2 X0 = 0
Разделяем переменные:
d(X0) / X0 = 2 dt
Интегрируем слева по X0, справа по t:
ln(X0) = 2 t + Const
Выражаем X0:
X0(t) = C exp(2 t)
Тогда общее решение:
X(t) = C exp(2 t) + exp(3 t)
Учтем начальное условие:
X(0) = C + 1 = 50
C = 49
И тогда окончательное решение:
X(t) = 49 exp(2 t) + exp(3 t)