Линейное дифференциальное уравнение

JND.y'+y/x-cos(x)=0

Тут, конечно, можно забить на методы решения линейных уравнений. Проще так:
y' + y / x = cos(x)
x y' + y = x cos(x)
(x y)' = x cos(x)
∫(x y)' dx = ∫ x cos(x) dx
x y = C + x sin(x) + cos(x)
y = C / x + sin(x) + cos(x) / x
Вроде нечего объяснять.
А вот если хотите решить его как линйное, то... метод Бернулли - универсальный. Решение ищется в виде:
y = w z
z - новая искомая функция, w - какая-то заданная функция. В зависимости от выбора w мы будет получать разное уравнение для z. Можно выбрать такую w, чтобы в уравнении для z переменные разделились. Подставим y в уравнение:
(w z)' + w z / x = cos(x)
раскрываем скобки:
w' z + w z' + w z / x = cos(x)
группируем:
(w' + w / x) z + w z' = cos(x)
А теперь выберем такое w, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда для z останется элементарное уравнение. Как такое w выбрать? Можно и подобрать, увидеть, а можно честно рассмотреть уравнение:
w' + w / x = 0
Тут переменные разделяются:
dw / w = - dx / x
интегрируем:
ln(w) = C - ln(x)
или:
w = C / x
Нам нужно не общее решение, а любое такое w (ненулевое, конечно). Поэтому можно не таскать с собой константу интегрирования. Возьмем:
w = 1 / x
Тогда уравнение для z примет вид:
z' / x = cos(x)
Ну и дальше понятно:
z' = x cos(x)
dz = x cos(x) dx
z = C + x sin(x) + cos(x)
И получаем решение:
y = w z = C / x + sin(x) + cos(x) / x