Есть вопрос по дифференциальному уравнению

обозначения: х^2 - x в квадрате; аналогично все остальные степени

1) xydx + (x+1) dy = 0 - д. у. с разделяющимися переменными
-xydx = (x+1) dy | :y(x + 1)
-xdx/(x+1) = dy/у
интегрируем обе части равенства

интеграл -xdx/(x+1) = - интеграл xdx/(x+1) = - интеграл (x + 1 - 1)dx/(x+1) = - интеграл [(x + 1)/(x+1) - 1/(x+1)]dx =
= - интеграл [(1 - 1/(x+1)]dx = - интеграл dx + интеграл dx/(x+1) = - интеграл dx + интеграл d(x+1)/(x+1) = -x + ln(x+1) +c, c - const

интеграл dy/у = lny + c

-x + ln(x+1) +c = lny
у = е^( -x + ln(x + 1) + c)

2) (x^2 + y^2)dx + 2x^2dy = 0 - однородное д. у. I порядка
подстановка: у = Ux => dy = xdU + Udx

(x^2 + (Ux)^2)dx + 2x^2 * ( xdU + Udx) = 0
x^2dx + U^2x^2dx + 2x^3dU + 2x^2*Udx = 0
x^2dx(1 + U^2 + 2U) + 2x^3dU = 0
-x^2dx(1 + U^2 + 2U) = 2x^3dU
-x^2dx(1 + U)^2 = 2x^3dU | : (1 + U^2)*2x^3
-x^2dx/(2x^3) = dU/(1 + U)^2
-dx/(2x) = dU/(1 + U)^2
интегрируем обе части равенства

интеграл -dx/(2x) = -1/2 интеграл dx/x = -1/2 ln x + c

интеграл dU/(1 + U)^2 = интеграл (1 + U)^(-2)*d(1+U) = (1 + U)^(-1)/(-1) + c = -1/(1+U) + c
-1/(1 + U) = -1/2 ln x + c1, c1 - const
1/(1 + U) = 1/2 ln x + c2, c1 = -c2
1 + U = 2/(ln x + c), c = 2*c2,
U = 2/(ln x + c) - 1

у = Ux => у = (2/(ln x + c) - 1)x = 2x/(ln x + c) - x

3) непонятно где здесь производная ?!?

третье уравнение имеет два слагаемых с одной степенью. надо степень уточнить