Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Ответ. y"-3*y'+2*y-3*x=0;

Y = Yодн + Yчаст, где:
Y - общее решение уравнения
Yодн - общее решение однородного уравнения
Yчаст - любое частное решение исходного (неоднородного) уравнения
-
1) Найдем Yчаст. Т. к. нам нужно ЛЮБОЕ частное решение, то его можно угадать, подобрать и т. д. Тут можно попробовать искать его в виде:
Yчаст (x) = a x + b
Подставляем в уравнение:
(a x + b)'' - 3 (a x + b)' + 2 (a x + b) = 3 x
берем производные:
- 3 a + 2 a x + 2 b = 3 x
потребуем, чтобы:
2 a = 3
- 3 a + 2 b = 0
тогда:
a = 3/2, b = 9/4
и частное решение примет вид:
Yчаст (x) = 3 (3 + 2 x) / 4
-
2) Найдем Yодн - общее решение однородного уравнения:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Попробуем искать решение в виде: Y = exp(kx). подставляем в уравнение:
exp(kx)'' - 3 exp(kx)' + 2 exp(kx) = 0
берем производные, экспоненту выносим за скобки:
(k^2 - 3 k + 2) exp(kx) = 0
делим на экспоненту (она не равна нулю):
k^2 - 3 k + 2 = 0
Получили квадратное уравнение для k. Решения:
k = -1 и k = -2.
Тогда получили два независимых решения однородного уравнения:
Y1 = exp(-x), Y2 = exp(-2x).
Общее решение однородного уравнения:
Yодн = C1 Y1 + C2 Y2 = C1 exp(-x) + C2 exp(-2x)
-
Тогда общее решение уравнения:
Y = C1 exp(-x) + C2 exp(-2x) + 3 (3 + 2 x) / 4