4y´´2 = 1 + y´2 Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

4 y''^2 = 1 + y'^2
Обозначим:
y' = p
Тогда:
y'' = p'
И уравнение примет вид:
4 p'^2 = 1 + p^2
Извлекаем корень с учетом двух возможных знаков:
2 (dp/dx) = (+/-) sqrt(1 + p^2)
Разделяем переменные:
2 dp / sqrt(1 + p^2) = (+/-) dx
Интенгрируем:
ln(p + sqrt(1 + p^2)) = C (+/-) x / 2
Выражаем p:
p = (1/2) ( A exp([+/-]x/2) - (1/A) exp([-/+]x/2) )
Видно, что изменение неопределенного знака можно осуществить изменением неопределенной константы:
A -> -1/A
Поэтому неопределенность в знаке можно учитывать той же неопределенной константой, и таскать с собой два варианта знака не нужно:
p = (1/2) ( A exp(x/2) - (1/A) exp(-x/2) )
Возвращаемся к y' = p:
y' = (1/2) ( A exp(x/2) - (1/A) exp(-x/2) )
Интегрируя, получаем общее решение:
y = C + A exp(x/2) + (1/A) exp(-x/2)
Подставим начальные условия:
y(0) = C + A + 1/A = 1
y'(0) = (1/2) (A - 1/A) = 0
Рассматрев эти равенства как систему уравнений относительно A и C, получаем два решения:
A = 1, C = -1
и
A = -1, C = 3
И получаем, следовательно, два решения задачи Коши:
y = 2 cosh(x/2) - 1
y = 3 - 2 cosh(x/2)

онлайн сервисов навалом, там с подробным разжёвыванием.