Помогите решить задачу Коши пожалуйста!!!

2 y y'' = (y')^2 +1
Представим производную в виде:
y'(x) = F(y(x))
тогда вторая производная:
y''(x) = d(y')/dx = dF/dx = (dF/dy) (dy/dx) = (dF/dy) F
И доп. условия:
x=0, y=1, y'=F=1
То есть: F(1) = 1.
Перешли к задаче для F:
2 y F (dF/dy) = F^2 + 1, F(1) = 1
Разделяем переменные:
2 F dF / (1 + F^2) = dy / y
интегрируем:
ln(1 + F^2) = C + ln|y|
Выражаем F:
1 + F^2 = A y
F^2 = A y - 1
F = (+/-) sqrt(A y - 1)
Подставим доп. условие:
F(1) = (+/-) sqrt(A -1) = 1
Поэтому A = 2, и перед корнем знак + :
F(y) = sqrt(2 y - 1)
Возвращаемся к задаче для y:
F = dy/dx, тогда:
dy/dx = sqrt(2 y - 1), y(0) = 1 (второе условие уже учли)
Разделяем переменные:
dy/sqrt(2 y - 1) = dx
Интегрируем:
sqrt(2 y - 1) = x + C
Выражаем y:
2 y - 1 = (x + C)^2
2y = 1 + (x + C)^2
y = 1/2 + (1/2) (x + C)^2
учтем доп. условие:
y(0) = 1/2 + (1/2) C^2 = 1
C = 1 или C = - 1
y(x) = 1/2 + (1/2) (x + 1)^2 =
= (1/2) x^2 + x + 1
или
y(x) = 1/2 + (1/2) (x - 1)^2 =
= (1/2) x^2 - x + 1
Проверим условие для производной:
y'(0) = 1
подходит только 1 решение:
y(x) = 1 + (1/2) x^2 + x