Математика дифференциальные уравнения линейные

Да где ж оно линейное-то?)
1 - 2 x y y' = y' y^3
преобразуем:
1 - (2 x + y^2) y dy/dx = 0
dx - (2 x + y^2) y dy = 0
умножим уравнение на m (конкретный вид m выберем потом):
m dx - m (2 x + y^2) y dy = 0
Все, что слева от нуля, рассмотрим как полный дифференциал какой-то функции U, тогда:
Ux = m
Uy = - m (2 x + y^2) y
Но должно выполняться:
Uxy = Uyx, тогда:
(dm/dy) = - (2 x + y^2) (dm/dx) - 2 y m
Пусть m - функция только от y, тогда dm/dx = 0 и:
dm/dy = - 2 y m
Разделяем переменные:
dm / m = - 2 y dy
интегрируем:
ln(m) = Const - y^2
Положим Const = 0, выразим m:
m = exp(- y^2)
При таком m выполняется условие Uxy = Uyx, и может существовать функция U(x,y), полный дифференциал которой равен левой части уравнения.
Получаем два соотношения:
Ux = exp(- y^2)
Uy = - y (2 x + y^2) exp(- y^2)
Интегрируем первое соотношение по x:
U = x exp(- y^2) + f(y)
f(y) при интегрировании по x исполняет роль константы интегрирования.
Теперь от полученного U возьмем частную производную по y:
Uy = - 2 x y exp(- y^2) + df/dy
Сравнивая со вторым соотношением, получаем:
df/dy = - y^3 exp(- y^2)
df = - y^3 exp(- y^2) dy
интегрируем:
f = (1 + y^2) exp(- y^2) / 2 + Const
Тогда искомая функция двух переменных:
U = (2 x + y^2 + 1) exp(- y^2) / 2 + Const
И уравнение тогда можно переписать в виде:
dU = 0
Тогда общий интеграл уравнения:
U = Const
Или:
(2 x + y^2 + 1) exp(- y^2) = Const
Вам нужно было найти общее решение, а не общий интеграл. То есть от сюда еще требуется выразить y. В элементарных функциях его не выразить.
Можно оставить в виде общего интеграла.
И можно выразить x(y):
x = Const exp( y^2) - (1 + y^2) / 2