Дифференциальные уравнения, математика

3X^2+2y-1

Уравнение:
d(y^2) / dx - y^2 / a = - 4 x

Уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке x0 имеет вид:
y = f(x0) - (1/f'(x0))*(x - x0).
Находим координату x* нормали при пересечении с осью x (y=0):
0 = f(x0) - (1/f'(x0))*(x* - x0) => x* = f(x0)*f'(x0) + x0.
Получаем, что точки (x0, f(x0)) и (x*,0) - границы отрезка нормали, о котором говорится в условии.
Координаты середины этого отрезка (x_(1/2), y_(1/2)):
x_(1/2) = (x0 + x*)/2 = f(x0)*f'(x0)/2 + x0,
y_(1/2) = f(x0)/2.
По условию нам дано, что эта точка лежит на параболе y^2=a*x. Тогда, приравниваем соответствующие координаты, и получаем дифференциальное уравнение на искомую кривую. Далее для удобства координату x0 заменю на x, а аргументы в f(x0) и f'(x0) опущу. Получается:
(f/2)^2 = a*(f*f'/2 + x).
Оставим всё что с производной в одной части:
f*f' =f^2/(2*a) - 2*x.
Теперь для нахождения решения этого ДУ и искомой кривой, сделаем замену z = f^2, тогда z' = 2f*f' => f' = z'/(2f), и придем к ДУ:
f*z'/(2f) = z/(2*a) - 2*x
=> z'/2 = z/(2a) - 2*x
=> z' = z/a - 4*x - это линейное неоднородное ДУ. Его можем решить методом Бернулли. Пусть z = u*v =>
u'*v + u*v' = u*v/a - 4*x
=> u*(v' - v/a) + u'*v = -4*x
Функцию v выберем из условия
v' - v/a = 0 => dv/v = dx/a
=> v = e^(x/a).
Т. к. при данном v: v' - v/a = 0, на функцию u выходит ДУ:
u'*e^(x/a) = -4*x => u' = -4*x*e^(-x/a).
Здесь проинтегрируем по частям:
du = -4*x*e^(-x/a)dx = -4*(-a)*x d(e^(-x/a)) = 4a*x*e^(-x/a) - 4a*e^(-x/a)dx = 4a*x*e^(-x/a) +4a^2*e^(-x/a) + C
Таким образом,
z = u*v = (4a*x*e^(-x/a) +4a^2*e^(-x/a) + C)*e^(x/a) = C*e^(x/a) + 4a^2 + 4a*x - общее решение, где C - константа.
По условию наша кривая должна проходить через начало координат, это означает, что y(0) = 0. Отсюда находим константу C:
0 = C + 4a^2 => C = -4a^2.
Следовательно,
z = y^2 = (-4a^2)*e^(x/a) + 4a^2 + 4a*x - искомая кривая в неявном виде.