Задание: Найдите систему линейных уравнений, подпространство решений которой совпадает с линейной
оболочкой системы векторов А(a1,a2,a3). a1 =(1,-2, 2, 3), a2=(3, -5, 4 ,1), a3=(1, -1, 0, 7).
Я правильно понимаю что это решать нужно так : с помощь уравнения линейной комбинации b1x1+b2x2+b3x3+b4x4=0 представить в виде матрицы, дальше решить матрицу методом Гаусса, в итоге получится два уравнения b1-2b3+17b4=0 и b2-2b3+10b4=0 и это будет итоговое решение? Или дальше нужно еще найти ФСР?
Вам надо придумать систему:
A x = b
Решение которой:
x = c1 a1 + c2 a2 + c3 a3
x, b - векторы размерности 4
A - матрица размерности m на 4.
Столбцов у нее 4 (т. к. она должна действовать на 4-вектор), а строк - пока непонятно.
За то сразу понятно, что за вектор b. Линейная оболочка векторов должна содержать нулевой элемент. То есть при:
c1 = c2 = c3 = 0
получим решение:
x = 0
Очевидно, такое решение система будет иметь только при:
b = 0
Теперь по поводу A. Т. к. столбца ровно 4:
rang(A) <= 4
Размерность линейной оболочки решений:
4 - rang(A)
У вас размерность линейной оболочки равна 3. Поэтому:
rang(A) = 1
Тогда число строк A можно взять 1 (и можно добавить еще сколько угодно строк, линейно зависимых с первой, они не повлияют на ранг, но зачем...).
A x = 0
A (c1 a1 + c2 a2 + c3 a3) = 0
c1 [A a1] + c2 [A a2] + c3 [A a3] = 0
c1, c2, c3 - произвольные и независимые, поэтому:
A a1 = 0
A a2 = 0
A a3 = 0
Это три уравнения для строки A из 4-х элементов. Вам достаточно взять любое нетривиальное решение этой системы.
Я правильно понимаю что это решать нужно так : с помощь уравнения линейной комбинации b1x1+b2x2+b3x3+b4x4=0 представить в виде матрицы, дальше решить матрицу методом Гаусса, в итоге получится два уравнения b1-2b3+17b4=0 и b2-2b3+10b4=0 и это будет итоговое решение? Или дальше нужно еще найти ФСР?
