Как найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка????

Характеристическое уравнение r²+4=0; r1=r2=±2i.
Общее решение однородного уравнения: Y=C1•sin2x +C2•cos2х
Общее решение – y=Y+Y1, где Y1 - частное решение заданного уравнения, которое ищется в виде y=asinx+bcosx.
Тогда y’=acosx-bsinx, y”=-asinx-bcosx
Подставляем полученные значения в исходное уравнение и находим а, b:
-asinx-bcosx+4asinx+4bcosx=5cosx;
3a=0 => a=0
3b =5 => b=5/3.
Тогда общее решение заданного уравнения:
y=Y+Y1= C1•sin2x +C2•cos2х +(5/3)•cosX.
Находим У’ и, подставляя заданные начальные условия, находим С1 и С2 для этих условий.
у'=2C1•cos2x-2C2•sin2x-(5/3)•sinx
y(0)=C2+5/3=1 => C2=-2/3;
y’(0)= 2C1=3; → C1=3/2.
Подставляя найденные значения С1 и С2 в общее решение получаем искомое частное решение заданного уравнения получим
y=(3/2)•sin2x-(2/3)•cos2х +(5/3)•cosX.

Сначала ищите корни характеристического уравнения - для вашего случая r^2 + 4*r = 0. Корни r1 = 0; r2 = -4;
Общее решение однородного уравнения у = С1*е^(r1*x) + C2*e^(r2*x) = C1*e^(0*x) + C2*e^(-4*x) = C1 + C2*e^(-4*x). Ваше уравнение не однородное, с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из общего решения однородного уравнения (когда правая часть =0) и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного мы нашли, теперь надо найти частное решение. Ищем в виде y = A*cos(x). Возьмем 1 и 2 производные и получим y ' = -A*sin(x); y '' = -A*cos(x). Подставляем 2 производную и 0-ю в исходное уравнение [-A*cos(x)] + 4*[A*cos(x)] = 5*cos(x). Приравниваем коэффициенты при cos(x) в левой и правой части. 3*A = 5; A = 5/3. Тогда общее решение неоднородного уравнения будет у = C1 + C2*e^(-4*x) +(5/3)*cos(x). Для нахождения частного решения нужно взять 1 производную и приравнять ее в соответствии с вашими начальными условиями к 3, а у = C1 + C2*e^(-4*x) +(5/3)*cos(x) приравнять в соответствии с вашими начальными условиями к 0. Получите систему двух уравнений для нахождения С1 и С2. Удачи и успехов!!!

тебе сюда
megaresheba.ru

охренеть