Дифференциальное уравнение первого порядка:

(y⁴ + 2 x) (dy/dx) = y, y(0) = 2.
Представим задачу поудобнее:
dx/dy = (2 / y) x + y³, x(2) = 0.
Далее метод Бернулли. Ищем решение в виде:
x(y) = A(y) z(y),
тогда уравнение примет вид:
(dA/dy) z + A (dz/dy) = (2 / y) A z + y³,
причешем:
[(dA/dy) - (2 / y) A] z + A (dz/dy) = y³.
Вместо одной неизвестной функции x(y) ввели две неизвестные функции A(y) и z(y), поэтому можем дописать еще какое-нибудь условие (выберем такое, чтобы уравнение отн-но z(y) стало как можно проще). Потребуем, чтобы:
dA/dy - (2 / y) A = 0.
Это условие - просто уравнение отн-но A(y). И общее решение нам тут не нужно, достаточно любого частного решения (только ненулевого). Разделим переменные:
dA / A = 2 dy / y,
проинтегрируем:
ln|A| = 2 ln|y| + const,
положим const = 0, и выразим A:
A = y².
Теперь, при таком выборе A(y), уравнение отн-но z(y) примет вид:
y² (dz/dy) = y³.
Разделяем переменные:
dz = y dy,
интегрируем:
z = const + y² / 2,
возвращаемся к x(y):
x(y) = C y² + (y⁴ / 2),
учитываем доп. условоие:
x(2) = C 4 + 8 = 0,
отсюда:
C = -2,
и частное решение:
x = (y⁴ / 2) - 2 y².
Это, конечно, обратная функция. Выразим y²:
y² = 2 ± √(4 + 2 x).
Тут надо выбрать одну из двух ветвей. Из доп. условия видим, что при:
x = 0
должно быть:
y² = 4,
поэтому выбираем +:
y² = 2 + √(4 + 2 x).
Избавляемся от второй степени:
y = ± √{2 + √(4 + 2 x)}.
Снова нужно выбрать одну из ветвей. Смотрим на доп. условие, выбираем знак +, и получаем окончательное решение:
y = √{2 + √(4 + 2 x)}.

JNL.(y^4+2*x)*y'-y=0