Через точку пересечения 2 прямых x+y-1=0 и 2x+3y+1=0 провести прямую параллельно прямой 3x-4y+5=0

Короткое решение:

Все прямые, проходящие через точку пересечения данных:
A(x+y-1)+B(2x+3y+1)=0
Искомая прямая параллельна прямой 3x-4y+5=0, если
A+2B=3, A+3B=-4
Отсюда В=-7, А=17
Ответ: 3х-4у-24=0

Для начала найдём точку пересечения прямых x+y-1=0 и 2x+3y+1=0.

Решим систему уравнений:

x + y - 1 = 0

2x + 3y + 1 = 0

Умножим первое уравнение на 3 и вычтем из второго:

2x + 3y + 1 - 3x - 3y + 3 = 0

-x + 4 = 0

x = 4

Подставляем x в первое уравнение и находим y:

4 + y - 1 = 0

y = -3

Точка пересечения прямых имеет координаты (4, -3).

Для того чтобы провести прямую параллельно прямой 3x-4y+5=0 и проходящую через точку (4, -3), нужно найти направляющий вектор этой прямой.

Прямая 3x-4y+5=0 можно записать в виде y = (3/4)x + (5/4). Значит, вектор (4, 3) будет направляющим вектором этой прямой.

Чтобы провести прямую параллельную этой прямой, нужно взять её направляющий вектор равным направляющему вектору прямой (4, 3). Направляющий вектор параллельной прямой будет иметь вид (4, 3).

Теперь осталось найти уравнение прямой, проходящей через точку (4, -3) и имеющей направляющий вектор (4, 3). Для этого воспользуемся уравнением прямой векторного виде:

r = r_0 + tv,

где r - радиус-вектор точки на прямой, r_0 - радиус-вектор начальной точки (может быть любой точкой на прямой), t - параметр, v - направляющий вектор прямой.

Подставим значения:

r = (x, y)

r_0 = (4, -3)

v = (4, 3)

Получим уравнение:

(x, y) = (4, -3) + t(4, 3)

x = 4 + 4t

y = -3 + 3t

Это уравнение прямой, параллельной прямой 3x-4y+5=0 и проходящей через точку (4, -3).