y''+y=e^t; y(0)=1,y'(0)=0 Помогите а? кто умный?!

Изображение правой части уравнения 1/(p-1).

Обозначаем L(y) = Y(p) ; тогда L(y') = pY-y(0+) = pY-1; L(y'') = p²Y-p ;
L(y''+y) = p²Y-p+Y = (p²+1)Y - p = 1/(p-1) ;
(p²+1)Y = (p²-p+1)/(p-1) ;
Y = (p²-p+1)/[(p-1)(p²+1)] .

Разложим изображение на простые дроби. (p²-p+1)/[(p-1)(p²+1)] = (Ap+B)/(p²+1) + C/(p-1) = (Ap²-Ap+Bp-B+Cp²+C)/[(p²+1)(p-1)], откуда имеем систему:

A+C=1
-A+B=-1
-B+C=1

Решение системы A=½ B=-½ C=½ . Отсюда Y=½[p/(p²+1) - 1/(p²+1) + 1/(p-1)].

Отсюда оригинал, т. е. решение задачи Коши, есть:

y = ½(cost-sint+e).

Если что не будет видно - пишем на почту. Решил операторным методом, т. к. обратил внимание на другие Ваши вопросы.

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
r²+1=0 => r1=-i; r2=i.
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения записывается так:
Y=C1cosx+C2sinx

А общее решение заданного уравнения – y=Y+y1, где y1 - частное решение заданного уравнения, которое ищется в виде y=a•е^t.
Тогда y’= -a•е^t, y”= a•е^t
Подставляем полученные значения в исходное уравнение и находим а:
a•е^t+a•е^t =e^t;
2a =1 → a=1/2.
Тогда общее решение заданного уравнения:
y=Y+Y1= C1cosx+C2sinx +(1/2) •е^t.
Находим У’ и, подставляя заданные начальные условия, находим С1 и С2 для этих условий.
у'= -C1•sint+C2•cost+(1/2)•е^t;
y’(0)=C2+1/2=1 => C2=1/2;
y(0)=C1+1/2=0 => C1=-1/2;

Подставляя найденные значения С1 и С2 в общее решение получаем искомое частное решение заданного уравнения получим
y=Y+Y1= -(1/2)•cosx+(1/2)•sinx +(1/2) •е^t.=(e^t+sint-cost)/2

y(t) = 1/2*(e^t+sin(t)-cos(t))