Дифференциальные уравнения. Подскажите как решается y"-6y'+9y=x^2-x+3 y(0)=4/3 y'(0)=1/27

JND.

По-разному можно. Для начала стоит поискать решение в виде:
yч = A x^2 + B x + C.
Если это все подставить в уравнение, получится:
(A x^2 + B x + C)'' - 6 (A x^2 + B x + C)' + 9 (A x^2 + B x + C) = x^2 - x + 3,
раскрываем скобочки:
9 A x^2 + (9 B - 12 A) x + (9 C - 6 B + 2 A) = x^2 - x + 3.
Из независимости разных степеней x получаем систему равнений:
9 A = 1,
9 B - 12 A = - 1,
9 C - 6 B + 2 A = 3.
Решите, найдете коэффициентики, найдете частное решение уравнения. Далее решение ищите в виде:
y = z + yч,
где yч - это найденное частное решение. Отн-но z получите однородное уравнение:
z'' - 6 z' + 9 z = 0.
Далее решаете однородное уравнение. Вам нужно найти два независимых решения. Пробуйте искать их в виде:
z = exp(k x).
Если это подставить в уравнение для z, полчите уравнение для k:
k^2 - 6 k + 9 = 0.
Решите квадратное уравнение, найдете два разных k. Решение однородного уравнения тогда зпишется в виде:
z = C1 exp(k1 x) + C2 exp(k2 x).
Общее решение исходного уравнения тогда:
y = C1 exp(k1 x) + C2 exp(k2 x) + A x^2 + B x + C.
А дальше надо "подобрать" такие C1, C2, чтобы выполнялись доп. условия, которые вам даны.