Дифференциальные уравнения. Подскажите как решается xy'' - y' = (x^2)*e^x

xy'' − y' = x² · e^x

Замена: y' = p(x), y'' = p'(x)

xp' − p = x² · e^x

p' − p/x = x·e^x — линейное уравнение

Замена: p = uv, p' = u'v + uv'

u'v + uv' − uv/x = x · e^x

u'v + u [v' − v/x] = x · e^x

Находим v как частное решение уравнения:

v' − v/x = 0; dv/dx = v/x | dx/v

∫dv/v = ∫dx/x, ln v = ln x, v = x

Функцию u находим как общее решение уравнения:

u'x = x · e^x; du/dx = e^x, ∫du = ∫e^x dx

u = e^x + c ⇒ p = uv; p = (e^x + c)·x

y' = x · e^x + c₁x; dy/dx = x · e^x + c₁x

dy = ∫(x · e^x + c₁x) dx

По частям:
u = x ⇒ du = dx

dv = e^x dx ⇒ v = ∫dv = ∫e^x dx = e^x

Значит: ∫(x · e^x + c₁x) dx = uv − ∫v du = x·e^x − ∫e^x dx + c₁(x²/2) + c₂ =

= x·e^x − e^x + c₁(x²/2) + c₂

Ответ: y = e^x · (x − 1) + c₁(x²/2) + c₂ — общее решение

Уравнение не содержит у в явном виде значит заменой у'=р