Решите пожалуйста дифференциальное уравнение y'x = y + (x2 + y2 ) ^½; при условии что y(x=1)=0

x*y'-y-(x^2+y^2)^0.5=0

x dy = y dx + sqrt(x^2+y^2) dx
x dy - y dx = sqrt(x^2+y^2) dx
-x^2 d(y/x) = sqrt(x^2+y^2) dx
-d(y/x) = sqrt(x^2+y^2) / x^2 dx
-d(y/x) = sqrt(1+(y/x)^2) dx/ x
-d(y/x) /sqrt(1+(y/x)^2) = d lnx
-ln| y/x + sqrt(1+(y/x)^2) | = ln x + C
y + sqrt(x^2+y^2) = C
вольфрамальфа, правда, даёт другой ответ...
но если этот верный, то С найдем из начального условия: С=1

x y' = y + sqrt(x^2 + y^2)
Обозачим: y(x) = x z(x), тогда уравнение для z примиет вид:
x z' = sqrt(1 + z^2)
Разделяем переменные:
dz / sqrt(1 + z^2) = dx / x
Интегрируем:
arcsh(z) = A + ln|x|
Избавляемся от арк-функций и логарифмов:
z (+/-) sqrt(1 + z^2) = B x
Выражаем z:
z = (B^2 x^2 - 1) / (2 B x)
Возвращамся к y:
y = (B^2 x^2 - 1) / (2 B)
Удовлетворяем доп. условие:
При x = 1, y = (B^2 - 1) / (2 B) = 0
B = (+/-) 1
Получаем решение задачи:
y(x) = (+/-) (x^2 - 1) / 2
Выбор знака... можно подставить доп. условие в исходное уравнение, и увидеть, что:
при x = 1, y' = 1.
Тогда:
y(x) = (x^2 - 1) / 2