ковариация cov(X;Y) и коэффицент корреляции r(X;Y)

Ковариация - это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других. Более простое определение ковариации - это мера взаимодействия двух случайных переменных.

Формула для расчета ковариации следующая:
(2.6)

где rx и ry – доходности активов X и Y,

rXсред и rYсред - ожидаемые (средние) доходности активов X и Y,
n – число наблюдений.
Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходностями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер.
Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию, довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т. е. активы ходят одинаково. Значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т. е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутствии корреляции. Расчет корреляции осуществляется по формуле:

Вундеркинды

Коэффициентом ковариации называется выражение:
cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)]=M[XY-XMY-YMX+MX•MY]=MXY-2MX•MY+MX•MY=MXY-MX•MY
Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется число:

X*=(X-MX)/σx
Y*=(Y-MY)/σy
D(X±Y)=M[X±Y-M(X±Y)]2=M[X±Y-MX∓MY]2=M[(X-MX)±(Y-MY)]2=M[(M-MX)2±2(X-MX)(Y-MY)+(Y-MY)2]=M(X_MX)2±2M(X-MX)(Y-MY)+M(Y-MY)2=DX±cov(XY)+DY
Следствие:
Если X и Y независимы, то коэффициент ковариации равен 0 и следовательно
D(X±Y)=DX±DY
Свойства коэффициента корреляции
1. -1≤pxy≤1
2. Если |pxy|=1, то с вероятность 1 X и Y связаны линейно.
То есть, если коэффициент корреляции |pxy|=1, то результаты опыта лежат на прямой

В общем случае Y можно представить в виде
y=ax+b+z DZ=σy2(1-pxy)2
Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b.