exp(x+y)=xy Исследование НЕЯВНОЙ функции и построение графика!!!!

рассмотрим такую штуковину f=e^(x+y) - x y
частная производная f по x равна
e^(x+y) - y
при y > 0:
производная больше нуля при x > ln y - y, и меньше нуля при x < ln y - y
то есть x = ln y - y точка минимума
значение f в точке минимума
f = e^(x+y) - x y = y - x ln y + x y = x (y - ln y) + y > 0
Значит при y > 0 будет f > 0 при всех x, то есть решений у уравнения e^(x+y)=xy в области y > 0 нет
при y=0 равенство обращается
e^x = 0. Это уравнение также не имеет решений.
при y < 0:
производная f будет больше нуля при всех x, то есть f монотонно растёт с ростом x. При больших по модулю отрицательных x f примерно равно - x y, то есть меньше нуля. При больших по модулю положительных x f примерно равно e^(x+y) то есть больше нуля. Следовательно, при любом y < 0 уравнение e^(x+y)=xy будет иметь ровно один корень (в силу монотонности f, корней не может быть больше одного, а в силу того, что f меняет знак, хотя бы один корень есть)
В силу того, что e^(x+y) > 0 корень уравнения при любом y < 0 лежит на диапазоне x < 0.

теперь рассмотрим полный дифференциал f
df = e^(x+y) dx + e^(x+y) dy - x dy - y dx = dx (e^(x+y) - y) + dy (e^(x+y) - x)
для искомого графика df = 0
то есть dx (e^(x+y) - y) + dy (e^(x+y) - x) = 0
кроме того, для точек искомого графика e^(x+y)=xy
значит dx (xy - y) + dy (xy - x) = 0
dy = - y (x-1) dx / x / (y-1) = y (1-x) /x / (y-1) dx
dy/dx = y (1-x) /x / (y-1)
С учётом того, что для всех точек графика x < 0, y < 0
dy/dx отрицательно
вычислим вторую производную
d^2 y/dx^2 = d ( y (1-x) /x / (y-1)) / dx = (x -1)/(x (y-1)^2) dy/dx - y/(x^2 (y -1)) =
= (y ((x-1)^2 + (y-1)^2))/(x^2 (1 - y)^3)
При x < 0, y < 0 это выражение отрицательно

При x стремящемся к минус бесконечности, y=e^(x+y)/x стремится к нулю.
Вообще, если x достаточно велико по сравнению с y, y будет близко к e^x / x

На основании всего вышеизложенного можно сказать о графике следующее
График расположен в третьей четверти (x < 0, y < 0)
График является убывающей функцией (dy/dx < 0)
График функции является выпуклым вверх (d^2 y/dx^2 < 0)
В силу симметрии уравнения график является симметричным относительно y=x
График имеет асимптоту y=0, характер приближения к асимптоте y ~ e^x / x
В силу симметрии график также будет иметь вертикальную асимптоту x=0 с характером приближения к асимптоте x ~ e^y / y

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y = f(x), ,
заданной уравнением

F(x,y) = z0,
и значение фиксированно.

[править] Одномерный случай
Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция

непрерывна в некоторой окрестности точки (x0,y0)
F(x0,y0) = 0 и
При фиксированном x, функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности,
тогда найдётся такой двумерный промежуток, являющийся окрестностью точки (x0,y0), и такая непрерывная функция, что для любой точки

Обычно дополнительно предполагается что функция F непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотнности следует из того что, здесь Fy' обозначает частную производную F по y. Более того, в этом случае, производная функции f может быть вычислена по формуле

[править] Многомерный случай
Пусть и суть n- и m-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно и . Пусть F отображает некоторую окрестность W точки в пространство и F1,F2,...Fm — координатные функции (от переменных ) отображения F, т. е. F = (F1,F2,...Fm).

Если отображение F дифференцируемо на W, F(x0,y0) = 0, а якобиан отображения не равен нулю в y0 то существуют окрестности U и V точек x0 и y0 соответственно в пространствах и, и единственное отображение такие, что для всех выполняется условие .

При этом f(x0) = y0. Более того, отображение f дифференцируемо на U.