Найдите многочлен Тейлора функции u(x,y)=ln(x+1-y) до третьего порядка включительно с центром разложения в M(0,0)

Записываем ряд Тейлора и находим его члены до x³:

 T₃(x - y) = u(x₀, y₀) + (δu/δx(x₀, y₀) ∙ (x - x₀) + δu/δy(x₀, y₀) ∙ (y - y₀)) +

  + 1/2! ∙ [δ²u/δx²(x₀, y₀) ∙ (x - x₀)² + 2δ²u/(δxδy)(x₀, y₀) ∙ (x - x₀) ∙ (y - y₀) + δ²u/δy²(x₀, y₀) ∙ (y - y₀)²] +

  + 1/3! ∙ [δ³u/δx³(x₀, y₀) ∙ (x - x₀)³ + 3δ³u/(δx²δy)(x₀, y₀) ∙ (x - x₀)² ∙ (y - y₀) +

  + 3δ³u/(δxδy²)(x₀, y₀) ∙ (x - x₀) ∙ (y - y₀)² + δ³u/δy³(x₀, y₀) ∙ (y - y₀)³]



x₀ = y₀ = 0 (это наша центральная точка M) 

Дифференцировать логарифм умеете?

 δln(1 + x - y)/δx = 1 / (1 + x - y)

δln(1 + x - y)/δy = -1 / (1 + x - y)



δ²ln(1 + x - y)/δx²    = -1 / (1 + x - y)²

δ²ln(1 + x - y)/(δxδy) = 1 / (1 + x - y)²

δ²ln(1 + x - y)/δy²    = -1 / (1 + x - y)² 

Ну, третьи производные сами найдёте (их будет 4 шт). Подставляете в них (0, 0), там везде до 2-го порядка получатся значения +1 и -1, а в 3-м порядке ещё вылезет множитель 1/2 от дифференцирования. Останется умножить это на биномиальные коэффициенты и на x и y в нужных степенях, всё, как написано в формуле ряда Тейлора выше. И не забываем, что ln 1 = 0, 2! = 2, 3! = 6.

JND.

f(t) = ln(1 + t)
Если разложиться до третьего порядка:
f(t) ≈ t - t^2 / 2 + t^3 / 3
Теперь для вашего случая:
u(x, y) ≈ f(1 + [x - y]) = [x - y] - [x - y]^2 / 2 + [x - y]^3 / 3 ≈
≈ x - y + (1 / 2) x^2 + x y - (1 / 2) y^2 + (1 / 3) x^3 - x^2 y + x y^2 - (1 / 3) y^3

u = ㏑(1+x-y) - эту функцию можно разложить по степеням малого параметра ε=x-y вплоть до третьей, для чего даже частные производные не понадобятся:
㏑(1+ε)=ln1+㏑'(1)•ε+㏑''(1)•ε²/2+㏑'''(1)•ε³/6
㏑'(x) = 1/x, ㏑''(x) = -1/x², ㏑'''(x) = 2/x³
㏑1 = 0, ㏑'(1) = 1, ㏑''(1) = -1, ㏑'''(1) = 2
㏑(1+ε) = ε-½•ε²+⅓•ε³
u = x-y-½•(x-y)²+⅓•(x³) =
x-y-½•x²+xy-½•y²+⅓•x³-x²y+xy²-⅓•y³
(Это подправленный вариант Амаксара)
С частными производными будет то же самое, только дольше считать, но попробуйте:
u=㏑(1+x-y)=(∂u/∂x)•x+(∂u/∂y)•y+
½•(∂²u/∂x²•x²+2∂²u/∂x∂y•xy+∂²u(0,0)/∂y²•y²)+
(весовая сумма третьих частных производных)|(0,0)
∂u/∂x = 1/(1+x-y)
∂u/∂y = -1/(1+x-y)
∂²u/∂x² = -1/(1+x-y)²
И т.д.

Многочлен, состоящий из двух членов по именам u(x, y) и самый большой ln(x+1-y). Вместе они образуют двухглавого орла