1)2x^(2)*yy'+y^(2)=2 и 2)xy'+y=xy^(2)*lnx

Е в степени минус пи пополам равен и в степени и! Знаю точно но доказательство забыл !

1. y' = (2 - y^2) / (2y x^2)
y' записываем отношением дифференциалов, разделяем переменные
2y dy / (2 - y^2) = dx / x^2 интегрируем обе части уравнения
ln |y^2 - 2| = 1/x + C
y^2 = C e^(1/x) + 2
y = +/- (C e^(1/x) + 2) ^ (1/2)

2. y' + y / x = y^2 lnx
уравнение Бернулли, ищем решение y(x) в виде произведения двух произвольных функций y=u*v
тогда y' = u' v + v' u, подставляем в уравнение
u' v + v' u + uv / x = (uv)^2 lnx
выносим v за скобки из первого и третьего слагаемых
v (u' + u / x) + uv / x = (uv)^2 lnx (*)
выберем u таким, чтобы оно зануляло скобки при v в первом слагаемом
u' + u / x = 0 => S du / u = -S dx / x => ln |u| = -ln |x| + c => u =c / x
выберем любое u, тождественно не равный нулю, например, u = 1 / x
подставляем его в уравнение (*), учитывая, что первое слагаемое уже равно нулю (за счет выбора u)
v' / x = v^2 lnx / x^2, расписываем производную отношением дифференциалов и разделяем переменные
dv / v^2 = (ln x /x) dx интегрируем
-1 / v = 1/2 (ln x)^2 - C
1 / v = C - 1/2 (ln x)^2
v = 1 / (C - 1/2 (ln x)^2)
вспоминаем, что y = u*v, получаем
y = 1 / (C*x - x/2 (ln x)^2)

!!! В ПОСЛЕДУЮЩЕМ ОТВЕТЕ ПОТЕРЯН КОЭФФИЦИЕНТ "2" - РЕШЕНИЕ НЕВЕРНО!!!

1)2xx*yy'+yy=2
y'=dy/dx
2xxydy/dx+yy=2
2ydy*xx/dx=2-yy
2ydy/(2-yy)=dx/(xx)
-Ln(2-yy)=-1/x+C1
Ln(2-yy)=1/x+C
Можно так записать ответ: Ln(2-yy)=1/x+C (в неявном виде)

2-yy=Const*e^(1/x)
yy=2-Const*e^(1/x)
y=+-Sqrt(2-Const*e^(1/x)), где Const>0