Уравнение нормали к поверхности xy(z^2 - x^2 ) = z + y ^5 в точке M0 (1;1;2) .

Не знаю, есть ли какой-то общий метод для решения такой задачи. Можно попробовать так:
1)
Перепишите уравнение вашей поверхности в виде:
F(x, y, z) = 0
2)
Рассмотрите окрестность точки M:
F(x, y, z) = 0
F(Mx + [x - Mx], My + [y - My], Mz + [z - Mz]) = 0
В линейном приближении (верно вблизи точки M):
F(Mx, My, Mz) + Fx(Mx, My, Mz) (x - Mx) + Fy(Mx, My, Mz) (y - My) + Fz(Mx, My, Mz) (z - Mz) = 0
(где Fx, Fy, Fz - частные производные от F по x, по y и по z соответственно).
3)
Вблизи точки M получили уравнение поверхности приняло вид:
Fx [x - Mx] + Fy [y - My] + Fz [z - Mz] + D = 0
то есть мы построили касательную плоскость.
Нормаль к плоскости:
n = {Fx, Fy, Fz}
4)
Проще всего построить уравнение прямой в параметрическом виде:
r(t) = M + n t
или покоординатно:
x(t) = Mx + Fx t
y(t) = My + Fy t
z(t) = Mz + Fz t
Или можно исключить параметр t:
(x - Mx) / Fx = (y - My) / Fy = (z - Mz) / Fz