Пусть x и y – положительные числа, S – наименьшее из чисел x, y+1/x, 1/y .

У меня получилось, что Smax=√2, xmax=√2, a ymax=1/√2. Только это не строго, а методом Монте-Карло на компьютере. Вот программа на C++:
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;
double mini(double a, double b)
{
return a < b? a : b;
}
int main()
{
unsigned i, n = 100000000;
double x, y, s, smax = -10, xmax, ymax;
srand(time(nullptr));
for (i = 0; i < n; i++)
{
x = 3. * (rand() + 1) / RAND_MAX;
y = 3. * (rand() + 1) / RAND_MAX;
s = min(x, min(y + 1. / x, 1. / y));
if (s > smax)
{
smax = s;
xmax = x;
ymax = y;
}
}
cout << smax << ' ' << xmax << ' ' << ymax;
}
Мне интересно -кто даст правильный ответ, безукоризненный с чисто математической точки зрения?

Как решать, понятно. Точнее, как я бы стал это делать, и я не утверждаю, что это самый оптимальный подход. Делать я не буду, опишу схему.
1. Вариант первый x<y+1/x<1/y, x,y>0
S=x, а вышеприведенные неравенства определяют некоторую область на координатной плоскости, в этой области ищем наибольшее значение S, т. е в данном случае x.
И тогда лие)) всего 6 вариантов, в оконцовке выбираем наибольшее

при отрицательных числах типа 4, 3 и 1 (свойства кошкарифмов не считаются)