Помогите с решением дифференциальных уравнений методом Бернулли

1) У вас было уравнение относительно y(x). Если вы скажете, что y(x) = F(x, z(x)) (где F - известная функция двух переменных), и подставите в уравнение y(x) в таком виде, то вы перейдете от уравнения для y(x) к уравнению для z(x). Это просто обычная замена, при решении ее выбирают так, чтобы новое уравнение для z(x) было проще. Главное тут, что у вас была 1 неизвестная, и осталась одна неизвестная функция.
2) Мы можем сделать замену y = F(x, z) и не определяя F сразу. Т. е. мы можем определить F(x, z), можем определить не полностью или вообще оставить в общем виде, и подставить в уравнение. И доопределять вид уже потом.
3) Метод Бернулли - это тот же метод вариации постоянной. Напомню его для уравнения первого порядка:
y' + a y = b
Рассматриваем уравнение: s' + a s = 0. Оно легко решается:
ds/dx = - a s
ds/s = - a dx
Интегрируем:
ln(s) = - int( a dx ) + Const
s = C exp( - int[ a dx ] )
(Где C - постоянная интегрирования)
Возвращаемся к уравнению для y. Делаем замену:
y(x) = exp( - int[ a dx ] ) z(x)
Подставляем в уравнение, получаем простое уравнение для z(x):
z' = b exp( int[ a dx ] )
4) Метод Бернулли. Сразу делаем замену:
y(x) = s(x) z(x)
У нас было уравнение для одной функции, мы можем перейти к уравнению для другой функции (от уравнения для y к уравнению для z), а в такой замене есть еще произвольная пока функция s(x). Это просто значит, что частично выбрали функцию F(x, z) = s(x) z,сделав ее более определенной, чем просто "какая-то" функция... Теперь s(x) мы можем выбрать сами из соображений удобства. Подставляем y = s z в уравнение:
y' + a y = b
s' z + s z' + a s z = b
(s' + a s) z + s z' = b
И теперь доопределим замену. Т. е. определим s, наложив на нее требование: s' + a s = 0. Тогда уравнение для z получится простым:
s z' = b
z' = b / s
Но если сравнить с методом вариации постоянной, то сразу видно, что это практически один и тот же метод. s(x) - решение однородного уравнения (при b=0), а z(x) - "отварьированная" константа интегрирования однородного уравнения. (Вариация в ковычках, потому что помимо этого метода вариация значит другое в математике)
5) А теперь ваш вопрос. Что такое U и V.
С одной стороны, это функции от x. Одна из них - это новая искомая функция, к уравнению для которой вы переходите, а вторая - произвольная определяемая вами функция.
С другой стороны, одна функция - решение однородного уравнения, а вторая играет роль константы интегрирования в однородном уравнении, которую мы заменяем функцией в методе "вариации" постоянной.
И то и то верно, смотря что хочет от вас услышать преподаватель.
Удачи)