Кривые второго порядка. помогите найти краткое оприделение.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Определение 12.1 Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0 (12.1)

где a,b,c,d,f,g -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел
a,b,c - отлично от нуля.
^ значок возведения в степень

Имеется ввиду, что функция зависит не только от аргумента в первой степени, но и от аргумента во второй степени.
В уравнении 12.1 три первых члена имеют второй порядок, то есть в член входят или 2 переменные, или одна переменная во 2 степени.

Кроме того, функция чаще всего не может быть выражена явно, то есть нельзя при этом "y" выделить отдельно в левую чать уравнения.
Если кривую не менять, а смещать на поле координат, то её коэффициенты и аргумент меняются, это уже другая функция (хотя по смыслу та же) , и некоторые коэффициенты в формул могут обращаться в нуль, формула упростится и функция иногда может быть выражена явно.
Например, y=1/x (гипербола) в явной форме. В неявной форме xy=1.

уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Все они относятся к коническим сечениям, и именно потому, что конус тоже функция второго порядка, только это не кривая, а уже поверхность, имеющая и третью координату. Но в плоскости 2 координаты.
То есть линии, образуемые на плоскости при пересечении её круговым конусом (окружность, эллипс, парабола, гипербола)
имеют второй порядок. Прямая и точка - также входят в число сечений конуса, но они вырожденные, утратили в формуле многие коэффициенты и относятся как функции к первому порядку и нулевому. Нулевой порядок означает константу, неизменность, отсутствие функциональной зависимости.

Конические сечения - что может быть короче?

Открой учебник.