Вступительный экзамен, такой вопрос, Понятие функции?

Пусть даны 2 множества любой природы A={x∣x∈A},B={y∣y∈B} пусть f - некоторое отношение
между А и В, если пара (х, у) является элементом отношения f, то говорят, что элементу у соответствует элемент х или элементу х сопоставляется элемент у.
Определение: Отношение f между А и В, при котором каждому элементу из А соответствует не более одного элемента из В называется функцией.
Функция является частным видом отношения между 2-мя множествами, т. е. состоит из упорядоченных пар, причем в этом множестве нет различных пар с одинаковыми первыми компонентами. Область определения функции обозначается Д (f), область значения - E(f).
Если (х, y)∈f, то х называют аргументом функции f, а у -- соответствующим ему значением, при этом
применяют обозначение y=f(x). Очевидно Д (f)⊆A,aE(f)⊆B .
Возможны следующие случаи:
1. Д (f)=A,E(f)⊂B - отображение множества А в В
2. Д (f)=A,E(f)=B - отображение множества А на В
3. Д (f)⊂A,E(f)⊂B - отображение множества из А в В
4. Д (f)⊂A,E(f)=B - отображение множества из А на В
Функцию f, будем называть обратимой, если всяким двум различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. (∀(x1,y1),(x2,y2)∈f)(x1/=x2⇒y1/=y2) Если f обратима,
то обратное к ней отношение будет так же функцией. Эту функцию называть обратной к f. Очевидно, что Д (f−1)=E(f)E(f−1)=Д (f).
Если f является обратным отображением множества А на В, то f называют взаимно однозначным отображением А на В, при этом:
1. каждому элементу х∈А будет соответствовать единственный элемент
y∈B
2. каждый элемент y∈B окажется сопоставленным единственному элементу
х∈А
При этом говорят, что множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Можно сказать, что А~B. Для конечных множеств эквивалентность означает равночисленность их элементов, т. е. эти множества содержат одинаковое множество элементов. Характерным свойством бесконечности множества является тот факт, то оно м б эквивалентно своему собственному подмножеству. N={n}N1={2k∣k∈N}⊂NN1~N
.
Введем понятие композиции функции. Пусть даны 3 множества и 2 отображения A={x},B={y},C={z}f:A→B,g:B→C при этом рассмотрим случай, когда E(f)⊆Д (g) , при этом каждому
отображение f сопоставит y=f(x)∈E(f) , а отображение g этому элементу
y∈Д (g) сопоставит
единственный элемент z=g(y)∈E(g) В конечном итоге каждому элементу сопоставляется единственный
элемент z∈E(g) , т. е. можно говорить о функции определенной на Д (f) и принимающей значение на Е (g).
Эта функция называется композицией функций f и g или сложной функцией образованной из f и g, обозначается g0f. При этом функцию f называть внутренней, а g-внешней (g0f)(x)=g(f(x))

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон» , по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений) .
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.
Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функцией называется зависимость значения функции у от аргумента х, при которой одному значению х соответствует одно значение у. Например у^2=x не может называться функцией.

закон зависимости одной величины от другой