На специальность техник-программист обязательно знать и уметь писать программы или уже могут в колледже этому научить?

Желательно. Вас этому будут учить, поэтому если уже знаешь о чём речь, то проще въехать. От этого будет зависеть ваша деятельность как техника-программиста. И математику самое время начать подтягивать.
Техник - исполнитель. Т. е. к вам придёт инженер-программист, который знает что писать, зачем и каким методами. Ваша задача - написать программу в нужной среде по готовым наброскам ("эскизам"). Дописать, иными словами. Поэтому вам надо знать синтаксис и возможности языка (ов), но уметь изобретать не надо - задачу вам дадут. Поэтому второй пункт обучения - научить вас понимать что от вас хочет проектировщик, идейный вдохновитель программы.

А вот ремонтировать компы вам как раз не надо.

P.S. Почему все упорно игнорируют слово "техник" перед словом "программист"?

примитивным научат, дальше сама.

Большая часть программеров компы ремонтировать не умеет вообще. Так что научать основам - а дальше сами будете специализироваться и регулярно переучиваться

Да научать программировать, но что бы быть успешным программистом нужно самому приложить не мало усилий на изучение спец дисциплин и желательно в большем объеме чем этот материал будут давать в колледже.

Обучат. Но если захочешь быть программистом, то знай: программирование - самообучаемая профессия, т. е поверх азов придется дальше учиться всему самой)

Логика нужна в программировании, математика - далеко не вся и, скорее, в узких специализациях)