Хочу уйти с института

В техникум на психолога? Смешно
Сейчас даже секретаршей без высшего образования не берут.

В России психолог — не врач, то есть не имеет специального медицинского образования; соответственно не ставит медицинских диагнозов, не лечит, не выписывает и не назначает лекарственных препаратов.

Нет техникумов "на психолога"!
Психолог - высшее образование, а техникумы готовят только по рабочим специальностям.
Так что.... нужен ЕГЭ по биологии.

Как это "пойти в другой институт"? Не пойти, а поступать заново, на 1-й курс и сдавая те вступительные экзамены, которые в данный вуз и на данную специальность требуются. В педвуз без обществознания Вы не поступите
На бюджет попадете, если преодолеете соответствующий проходной балл на бюджетные места.

Насчет ЕГЭ точно не знаю, могут и потребовать. А вот бесплатно - пожалуйста) Один раз каждую ступень образования можно получить даром. Только еще вопрос: вы видели колледжи, где есть бесплатное психологическое образование?

Надо смотреть условия перевода в выбранный вами пед вуз. Иногда вузы не требуют ЕГЭ, завуалированно пишут так- учебная разница не должна составлять столько кто то учебных единиц. Это значит что вы, возможно, сможете перевестись в пед вуз на естественное направление - то есть физика к примеру или черчение. И то учебную разницу надо будет сдавать. Может и правда стоит просто перепоступить? Правда, для этого, сейчас надо отчислится с бюджета в начале. Или поступать на платное. Возможно что это не везде и то же на усмотрения вуза. Но, если честно, я бы не хотел что бы у моих детей учительница говорила уйти С института, даже в растрепанных чувствах. Вы уверены что это ваше? Учительнице надо быть безупречно- элегантной во всем.

Дело в том, что психологом можно стать без всякого специального обучения. Другой вопрос: откуда взять диплом? Сама по себе специальность психолога не востребована. Другое дело психиатрия. Здесь врачи получают очень хорошую зарплату, имеют отпуск - два месяца, надбавку к зарплате за вредность. Иное дело - психотерапевты. Они тоже не востребованы. Конечно, прочитав фундаментальные труды по психиатрии, можно знать больше любого психиатра. Но на это нужно время.