Что такое матрица оператора в базисе из собственных векторов??

Давайте рассмотрим в качестве примера двумерное пространство. В качестве базисных вектором возьмем векторы:
x, y
Тогда любой вектор можно разложить по ним (о есть представить в этом базисе). Рассмотрим разложение некоего вектора s:
s = s_x x + s_y y
s_x, s_y - числа, коэффициенты разложения a по базису (x,y), компоненты вектора a в базисе (x,y). Вектор через компоненты запишем так:
s = {s_x; s_y}
Теперь пусть есть некоторый линейный оператор Z, который любой вектор из нашего пространства превращается в какой-то другой вектор из этого же пространства. Пусть нам известно, как оператор действует на базисные векторы:
Z x = z_xx x + z_xy y = {z_xx; z_yy}
Z y = z_yx x + z_yy y = {z_yx; z_yy}
И мы хотим знать, как действует этот оператор на любой вектор. Подействуем им на вектор s:
Z s = Z {s_x; s_y} = Z (s_x x + s_y y) = s_x (Z x) + s_y (Z y) =
= s_x (z_xx x + z_xy y) + s_y (z_yx x + z_yy y) =
= (z_xx s_x + z_yx s_y) x + (s_x z_xy + s_y z_yy) y =
= {z_xx s_x + z_yx s_y; s_x z_xy + s_y z_yy}
То есть в компонентной записи это выглядит как произведение матрицы:
z_xx z_yx
z_xy z_yy
на столбец:
s_x
s_y
Указанная выше матрица - это матрица оператора Z в базисе (x,y). Зная ее, можно подействовать на любой вектор, представленный в этом базисе.