Прикладная математика для учебы

Давайте решим эти задачи по порядку. В первой задаче, синус одного из углов трапеции равен 0,25, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции перпендикулярны. Средняя линия равна 10 см, а одно из оснований равно 8 см. Мы можем использовать эти данные для нахождения длины меньшей боковой стороны трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, так что другое основание равно 12 см. Так как синус угла равен 0,25, то угол равен arcsin(0,25) ≈ 14,5°. Так как боковые стороны перпендикулярны, то меньшая боковая сторона равна (12-8)/2/tan(14.5°) ≈ 8.94 см.

Во второй задаче нас просят найти наибольшую площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить забором длиной 100 м. Максимальная площадь прямоугольника достигается, когда его стороны равны, то есть когда он является квадратом. Таким образом, наибольшая площадь прямоугольного участка земли составляет (100/4)^2 = 625 м^2.

Давайте решим эту задачу. Объем спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 10 - p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p. Нам нужно определить наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 16 тыс. руб.

Мы можем подставить q = 10 - p в формулу для выручки, чтобы получить r(p) = (10 - p) · p = 10p - p^2. Теперь мы можем решить неравенство 10p - p^2 ≥ 16, чтобы найти наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 16 тыс. руб.

Неравенство можно переписать как p^2 - 10p + 16 ≤ 0. Это квадратное неравенство, корни которого можно найти с помощью дискриминанта: D = (-10)^2 - 4 · 1 · 16 = 36. Таким образом, корни неравенства равны (-(-10) ± √36) / (2 · 1) = (10 ± 6) / 2, то есть p1 = 2 и p2 = 8.

Так как коэффициент при старшей степени положительный, то неравенство выполняется между корнями, то есть для 2 ≤ p ≤ 8. Следовательно, наибольшая цена p, при которой месячная выручка составит не менее 16 тыс. руб., равна 8 тыс. руб.

Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно
огородить забором, имеющим длину 100 м?

Пусть
x - длина участка
y - ширина участка
S = x*y - площадь участка

Длина забора (периметр участка)
p = 2*(x + y)
100 = 2*(x + y)
x + y = 50
y = 50 - x

Тогда:
S = x*y = x*(50 - x) = 50*x - x²
Находим производную:
S' = 50 - 2*x
Приравняем к нулю:
50 - 2*x = 0
2*x = 50
x = 25
При x < 25 S' >0
При x > 25 S' <0
В точке x = 25 - максимум

Значит:
S = 50*25 - 25² = 625 м²

69