какие документы нужны ребенку для поездки в египет?

Кроме паспорта НИЧЕГО не надо!

Если Вы гражданка России и летите одна (независимо в разводе или нет, разные фамилии или нет с ребёнком) НИКАКИХ разрешений от второго родителя НЕ НАДО!!! !
НО Вам необходим ОРИГИНАЛ (!!!!) Св-ва о рождении ребёнка (чтобы ДОКАЗАТЬ, что ВЫ РОДИТЕЛЬ) . Показывают его при прохождении наших погранцов на выезде.

Чтобы не быть голословной обращаемся к первоисточнику:

15 августа 1996 года N 114-ФЗ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН

О ПОРЯДКЕ ВЫЕЗДА ИЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
И ВЪЕЗДА В РОССИЙСКУЮ ФЕДЕРАЦИЮ

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.
(в ред. Федеральных законов от 24.06.1999 N 118-ФЗ, от 10.01.2003 N 7-ФЗ)

Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.
Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается Правительством Российской Федерации.
(статья 21 в ред. Федерального закона от 10.01.2003 N 7-ФЗ)

Согласие второго родителя на выезд из РФ не требуется!! ! Если только это не требование страны въезда ( такие страны как Турция, Египет таких требований не предъявляют)
_____

Всё время летаю в Еги с ребёнком, у которого фамилия отца.

свидетельство о рождении. Справка с разрешением от второго родителя, если в разводе (нотариально заверенная)

NataLina права на 100%.

Мед справок у нас не надо.
Надо письменное и нотариально заверенное разрешение на выезд от папы - это если едете вдвоем с ребенком.
(Украина)