У моей знакомой тур, паспорт выдан Грузией, може ли она прописаться в России и взять тур, путевку по этому паспорту

Любой гражданин иностранного государства не просто может, а ОБЯЗАН зарегистрироваться по месту проживания. Другое дело, что без оформления вида на жительство срок проживания для иностранцев ограничен. Придется периодически выезжать за пределы России, а по возвращении регистрироваться заново.

Турагентства очень неохотно работают с гражданами других государств. Именно из-за сложностей с визой.
Да, если у человека уже оформлена мультивиза в нужную страну, тогда есть вероятность, что ему продадут путевку.
А если визы нет? Основанием для выдачи визы может быть бронь гостиницы, приглашение и т. п. Но пока путевка не куплена, бронь гостиницы не получишь. И тут есть еще одна особенность. По общему правилу визу нужно просить в консульстве, расположенном в своей стране. Если в чужой, могут вообще заявку не принять, а могут принять, но рассматривать долго. За это время группа уже успеет вернуться. Потому турфирмы и не хотят работать с иностранцами, что велик риск, что турист не уедет из-за проблем с визой

Турагентству вообще по барабану, с каким паспортом у них путёвку покупают. Единственная тонкость - виза. Это надо будет самостоятельно оформлять, даже если турагентство берётся оформлять визы для граждан России.

Во всем согласен с рыжим, кроме одного. По общему правилу, и шенгенские страны тут не исключение, визу надо запрашивать по месту жительства. Если Ваша знакомая живет в России на законных основаниях и имеет тут постоянный легальный (!) заработок, то за визой она должна обращаться в консульское учреждение как раз в России!! ! Может, не все фирмы будут ей рады, но можно ведь и настоять. Или пойти к более грамотному менеджеру в другой фирме.