обязательно ли разрешение отца на выезд для отдыха ребенка заграницу? с отцом в разводе.

В соответствии со статьей 20 Федерального Закона №114, если ребенок покидает территорию России с одним из родителей или опекунов, то никакого согласия второго родителя НЕ ТРЕБУЕТСЯ. На руках у Вас, кроме загранпаспорта ребенка, должен при этом быть ещё и ОРИГИНАЛ свидетельства о рождении. В разводе родители или нет - значения не имеет. Закон про это ничего не говорит. Кроме того, на эту тему есть соответствующее разъяснение ФСБ РФ:
Это что касается ВЫЕЗДА за пределы РФ.
А вот со ВЪЕЗДОМ в другую страну (вы-ж не просто так выезжаете, а с намерением куда-то въехать) , то тут всё сложнее. Тут уже действуют законы той страны, куда Вы направляетесь.
Безвизовые страны, равно как и страны, виза в которых оформляется в аэропорту прибытия (Турция, Египет, Тунис и т. д.) , не требуют никакого согласия.
А вот визовые страны, в большинстве своём, такое согласие потребуют для оформления визы. В разводе родители или нет - совершенно неважно. По законам любой страны родитель остается родителем до тех пор, пока суд не лишит его родительских прав.

Таким образом, ответ на Ваш вопрос зависит от того, в какую именно страну Вы хотите ехать.

Да.

для выезда не надо. а вот для въезда в страны шенгена обязательно.

Если в разводе то да обязательно, при чем нотариально удостоверенное.

Тут конечно всё сугубо зависит от страны, в которую едите. Обычно, если ребёнок едет с матерью, то на паспортном контроле ничего и не спрашивают. По крайней мере я в детстве несколько раз ездила так за границу с мамой, конечно всё это на свой страх и риск, но всё обходилось удачно.
Для подстраховки лучше чтобы разрешение было, мало ли.

Прошлым летом я умудрилась съездить в Турцию с ребенком без свидетельства, и без разрешения от мужа. Тупо забыла! Вылетали не из нашего города (4 часа пути до него) , поэтому варианта сбегать за документами - не было. Мы не в разводе, но в загранке по-моему не написано, кто мой муж и что он отец моего ребенка. Пережила кашмарный ужас - отпуск убит!!!! Но нас пропустили, спросив у ребенка, кто я ему. (Ребенок, кстати, со страху еле смог ответить) . При мне пропустили еще двух поворотых мамаш без документов. Похоже, что в Турцию пропускают "сквозь пальцы". Но! ! Никому не советую это пройти, страху натерпелась, ужас просто.... Так что если есть возможность взять у папашки разрешение - берите лучше.

Смотря в какую страну. В Турцию достаточно от одного родителя. См. правила въезда в интернете.