В странах ЕС ходит евро. Можно ли, допустим, взять валюту в одной стране, а поехать с ней в другую? На территории ЕС, конечно.

В странах ЕС ходит с десяток РАЗНЫХ валют, в том числе и евро. Гражданам тех страна, где в ходу не евро, для того, чтобы расплатиться в другой стране, необходимо свою валюту поменять на валюту той страны, где они хотят что-то купить. Если же в обеих странах валюта - евро, то ничего менять не надо.

Евро вы можете взять и у нас, и спокойно ехать с ними по многим странам Европы. Там не будут спрашивать, из какой страны бумажки.
Другое дело, что многие страны в Евросоюзе сохранили свою валюту. Туда тоже можно приехать с евро, но сразу придется их менять на местную валюту или смириться с тем, что сдачу дадут по очень плохому курсу.

Это, как бы, очень сильно зависит от того, что Вы подразумеваете под словом ВЗЯТЬ. Если ограбить банк, то видимо могут быть определенные сложности, а если СНЯТЬ, с карты например, то проблем нет, не было и, надеюсь, не будет.

Евро принимают во всех странах еврозоны, не зависимо в какой стране евро напечатаны или отчеканены.

Если в обеих странах используют именно евро, как вы пишете, то вопрос странный..
Почти как "Мама, а можно я с деньгами в магазин пойду?"

ЕВРО принимается в любой стране еврозоны, независимо от того, в какой стране Вы эти деньги получили. Но в Евросоюзе есть страны со своей валютой (Хорватия, Чехия, Швеция, Дания). Там придется поменять ЕВРО на местную валюту.