Помогите, пересадка с самолёта на самолёт

Вы - транзитный пассажир.
Но если у Вас талоны на оба рейса, то не проходите по-новой регистрацию, а идёте со вторым талончиком на посадку на следующий рейс без выхода или даже с выходом в город.
Если талон при первичной регистрации выдан только на первый рейс, то на второй регистрируетесь по новой. И тоже бывает разница - с получением-сдачей багажа или без неё с передачей багажа с борта на борт грузчиками аэропорта.
То есть узнать точно Вы сможете только при первой регистрации.

если билет сквозной, то просто переход в другой терминал

В аэропортах США нет транзитных зон

В Омске идёте на регистрацию.
Говорите что у вас билет до Нью-Йорка.
Они вам или дают 2 посадочных талона Омск-Москва и Москва-Н\Й, или один до Москвы.

- Если один до Москвы, то сдаёте багаж, летите до Москвы и получаете багаж. Дальше идёте на регистрацию до Н\Й и сдаёте багаж. Дальше на таможню и границу.
- Если посадочных два, то сдавая багаж уточните, будет ли трансфер багажа. Если будет, то багаж вы получите уже в Америке. В этом случае по прилёту в Москву идёте по указателям: "Международный транзит", Там проходите таможню и пограничников.
Если трансфера багажа не будет, то в Москве получаете багаж, идёте на регистрацию и сдаёте багаж, дальше на границу.
Перед тем, как упаковывать багаж и ручную кладь прочитайте что нельзя ввозить в США и вообще перевозить самолётами. И не в коем случае это в багаж и ручную кладь не класть.