Можно ли в Сербии обойтись лишь русским языком?

можно.

Если ехать с групповым туром и всегда и везде ходить с группой и/или если никуда не сворачивать с проторенных туристических троп, - вполне. Иначе хоть начальные знания английского, но лучше иметь. Понятное дело, что и жестами завсегда объяснится можно, но некомфортно это как-то, на мой вкус...
Опять же, знание хотя бы десятка общеупотребительных фраз на местном языке очень часто в корне меняет отношение к Вам в лучшую сторону.

Я в Белграде как-то выкручивался. Многие неплохо понимают русский.

я и в молдавии с русским попал в тупик, они то понимают что я спрашиваю, но принципиально многие отвечают на своем, и английский там не поможет, и французский тоже

Можно.

cмотря, что Вы подразумеваете под словом "обойтись"...на отдыхе -одно, жить и работать - другое

само собой. никто из местных там с вами разговаривать то не будет, а гиды-переводчики так и так обслужат

Конкретно в Сербии не была, но в Черногории обошлись русским языком, а вот в Хорватии это уже не прокатило, английский выручил

эм... у меня есть подруга в сербии, но по-русски она не понимает, на слух да языки похожи, но мы общаемся на английском.
возможно в турзоне знают русский.

элементарно...

Можно, конечно... Особенно, если вы едете в качестве туриста. В конце концов, язык жестов ещё никто не отменял, да и сербы - отнюдь не чужие, некоторые даже неплохо владеют русским. Но лучше, всё-таки, знать английский. А ещё лучше - сербский (благо он не такой уж и сложный).