Посоветуйте, что обязательно стоит посмотреть/попробовать/купить на Сицилии?) Будем жить в Джардини Наксос.

Сицилия - это вулкан, у подножия которого - сплошь сельское хозяйство. У меня маман ездила в 75 лет туда на экскурсию. Из сувениров интересного - муранское стекло, но это не с самой Сицилии. А так - хамон, оливки...
Обувь удобную с собой берите - маман брала туристические сандалии на толстой амортизирующей подошве.

Кипр, Греция, Испания это страны банкроты. Их спасает только туризм. Сицилия тоже на очереди, как и половина Италии.

Много исторических мест посмотреть можно, история там интереснейшая, вам бы гида найти для этого лучше

Про то, что посмотреть написано масса. Во многом будт зависеть от того, как будет организован отдых - будете ли из оного мест2лучами" осматривать или перезжать с места на место цепочкой, чем ездить будете и тд.
А вот насчет "попробоваьт" - граниту, конечно, обязательно, в жаркий день просто лучше нету!
Вино Неро ди Авола - замечательное, миндальное вино вкусное.
Каноли - десерт. Именно там. на Сицилии очень вкусноые они.
И да, будьте готовы к тому, что Палермо оооочень замусоренный город. Красивый, атмосферный, интересный - но безумно замусоренный. Остальные города Сицилии как-то избежали этого. там бедненько, но чистенько)
Вообще Сицилия от Италии стоит особняком во всём.
Очень хороший и интересный выбор.

Посмотреть Палермо, Катанию, Этну конечно, Сиракузы... но мы все это на машине объездили, масса всего интересного в городах.. Сицилийская кухня очень вкусная, прекрасно готовят морепродукты, морского ежа там пробовала) мороженое вкусное.. Купить все что понравится..

Прежде всего, стоит съездить на Этну. В кратер только главное не свалиться попутно, делая селфи... А так, можно выбрать любой из городов, про который говорили выше: Палермо, Катанию и т. д.
Попробовать стоит что-нибудь из морепродуктов, там по понятным причинам хороший выбор)
А насчет "купить" сложно сказать. Тут кому что по душе. Мне там, например, приглянулись фигурки животных, сделанные из лавы.

Морского ежа: https://youtu.be/5Ld9oCwR1Bs