Возможен ли полёт на самолёте вокруг Земли так, чтобы весь путь не заходило солнце за горизонт?

Выше - очень хороший ответ.

Мой ответ мало отличается: теоретически - возможно, практически - маловероятно.
У самых-самых дальнемагистральных лайнеров, таких как Боинг-747 и Эрбас-380, потолок дальности полёта без дозаправки - 13000 км. И это - при крейсерской скорости 800 км/час. И то, 13 тыс. пролетел - потом только планировать, с отключившимися двигателями) Возможно сесть удачно, но это нужно ювелирное искусство. Возьмём компромиссный вариант - 11,5 тыс.
За полёт дальностью 40 тыс. км (окружность экватора) нужно минимум 3 посадки для дозаправки. Дозаправка - минут 20 минимум.
Так вот, теперь главное: даже если лететь со скоростью 1000 км/ч, понадобится 40 часов (почти двое суток) Конечно, можно разогнать самолёт (пассажирский дальнемагистральный) до такой скорости, но расход топлива будет значительно больше, поэтому, понадобится больше посадок, значит, больше потеря времени.
Двое суток - как ни крути. За сутки почти нереально.
А если не по экватору лететь, а по северному полярному кругу, скажем, так это - не вокруг земли, а вокруг Арктики лишь

Теоретически - возможен, современный самолёт может обеспечить нужную скорость.
Практически - невозможен, т. к. ни у одного из существующих типов самолётов запаса топлива не хватит на такой полёт. Разве что использовать стратегический бомбардировщик или дальний разведчик с дозаправкой в воздухе.

Теоретически возможен.

Возможно, но нужно облететь её ровно за 24 часа

Короткий ответ -- возможен, если Вы согласны на неиллюзорный геморрой... :)

Теперь длинный ответ.

Окружность экватора -- около 40 тысяч километров. Чтобы пролететь 40 тысяч километров за 24 часа, нужно лететь со скоростью 1667 км/ч (1.35 M). С учетом дальности полета нужно еще дозаправлять самолет на лету. Гражданских самолетов, способных на такие подвиги, сейчас, насколько я знаю, нет. Военные самолеты, которые на такое способны, вполне себе существуют. Беда в том, что почти все эти самолеты -- истребители, и в силу этого не рассчитаны на такие длительные полеты с точки зрения удобств для экипажа (питание, какАние и т. п.). Единственное исключение -- Ту-160, но даже у него крейсерский режим полета -- дозвуковой, а при сверхзвуковой скорости сильно растет расход топлива. Соответственно, его придется дозаправлять на каждом углу, причем летающие танкеры, как легко догадаться, со сверхзвуковыми скоростями не летают, поэтому надо будет сначала замедляться для дозаправки, потом ускоряться, чтобы наверстать упущенное.

Расстояние (а с ним и требования к скорости) можно сократить, если лететь не по экватору, а по более высокой широте. На широте 60 градусов, например, расстояние сокращается до 20 с небольшим тысяч километров, и потребная скорость падает ниже 900 км/ч. Но дозаправка все равно потребуется, поэтому гражданские самолеты опять-таки не канают. Но в этом случае можно использовать самолет, в котором есть туалет...

Это просто: летом - близко к северному полюсу, летом - к южному.

конечно, но вряд-ли это возможно без дозаправки